Факторная система - это совокупность взаимосвязанных факторов (аргументов) и результативного показателя (функции), объединенных причинно-следственными связями. Она является основой для проведения факторного анализа, позволяющего изучить влияние различных факторов на изменение результативного показателя.
Факторная система выражается математической моделью, называемой факторной моделью. Эта модель отражает функциональную зависимость результативного показателя от совокупности факторов, влияющих на него. Факторная модель может иметь различные формы: аддитивную (сумма факторов), мультипликативную (произведение факторов) или кратную (частное от деления факторов).
Рассмотрим пример факторной системы для анализа выручки от реализации продукции предприятия:
В данной мультипликативной факторной модели результативным показателем является выручка от реализации, а факторами - объем реализованной продукции и цена реализации. Допустим, имеются следующие данные:
| Показатель | Базисный период | Отчетный период |
| Объем реализованной продукции, шт. | 1000 | 1200 |
| Цена реализации, руб./шт. | 500 | 550 |
| Выручка от реализации, руб. | 500 000 | 660 000 |
Используя метод цепных подстановок, можно рассчитать влияние каждого фактора на изменение выручки:
1. Влияние изменения объема реализации:
2. Влияние изменения цены реализации:
Суммарное изменение выручки составило 160 000 руб. (660 000 - 500 000), что равно сумме влияний факторов объема и цены реализации.
Таким образом, факторная система позволяет формализовать взаимосвязи между результативным показателем и влияющими на него факторами, а также количественно оценить степень влияния каждого фактора на изменение результативного показателя с помощью методов факторного анализа.
Факторы в факторном анализе можно классифицировать по различным критериям. Рассмотрим основные из них:
По характеру действия:
По составу:
По уровню соподчиненности:
По возможности измерения влияния:
Приведем пример расчета влияния факторов на изменение объема производства продукции:
| Показатель | Базовый период | Отчетный период |
| Объем производства, шт. | 10000 | 12000 |
| Численность работников, чел. | 100 | 120 |
| Производительность труда, шт./чел. | 100 | 100 |
Абсолютное изменение объема производства: 12000 - 10000 = 2000 шт.
Влияние изменения численности работников:
Влияние изменения производительности труда: 0 шт. (производительность не изменилась)
Таким образом, увеличение объема производства на 2000 шт. полностью обусловлено ростом численности работников (экстенсивный фактор).
Классификация факторов важна для правильной интерпретации результатов факторного анализа и принятия обоснованных управленческих решений.
Рассмотрим основные этапы проведения факторного анализа с примерами и расчетами.
На этом этапе необходимо четко сформулировать цель проведения факторного анализа. Например, выявить факторы, влияющие на прибыль предприятия, или определить скрытые переменные, объясняющие поведение потребителей.
Следующим шагом является выбор переменных, которые будут включены в анализ. Эти переменные должны быть связаны с изучаемым явлением и иметь достаточную вариацию значений. Например, при анализе факторов, влияющих на прибыль предприятия, можно включить такие переменные, как объем продаж, себестоимость продукции, затраты на рекламу и т. д.
Перед проведением факторного анализа необходимо проверить пригодность данных. Это включает в себя проверку на нормальность распределения, отсутствие выбросов и мультиколлинеарности между переменными. Для этого используются различные статистические критерии, такие как критерий Кайзера-Мейера-Олкина (КМО) и критерий сферичности Бартлетта.
Существует несколько методов извлечения факторов, наиболее распространенными из которых являются метод главных компонент и метод максимального правдоподобия. Выбор метода зависит от цели анализа и характеристик данных.
На этом этапе определяется количество факторов, которые будут извлечены из данных. Для этого используются различные критерии, такие как критерий "каменистой осыпи" или критерий Кайзера (собственные значения больше 1).
Вращение факторов - это процедура, позволяющая получить более интерпретируемую факторную структуру. Существуют два основных метода вращения: ортогональное (varimax, quartimax) и косоугольное (oblimin, promax).
После извлечения и вращения факторов необходимо интерпретировать их содержание. Для этого анализируются факторные нагрузки - корреляции между переменными и факторами. Переменные с высокими нагрузками на один фактор объединяются в группы, которые и интерпретируются исследователем.
Полученные в результате факторного анализа факторы могут быть использованы для дальнейшего анализа, построения моделей или принятия управленческих решений. Например, если выявлены факторы, влияющие на прибыль предприятия, то можно разработать мероприятия по их оптимизации.
Рассмотрим пример факторного анализа прибыли предприятия за 2022 год. Исходные данные представлены в таблице:
| Показатель | Значение |
| Выручка от реализации, тыс. руб. | 25000 |
| Себестоимость продаж, тыс. руб. | 18000 |
| Коммерческие расходы, тыс. руб. | 2500 |
| Управленческие расходы, тыс. руб. | 1800 |
Цель анализа - выявить факторы, влияющие на прибыль от продаж предприятия. Проверка пригодности данных показала, что они удовлетворяют необходимым критериям. Для извлечения факторов был использован метод главных компонент.
В результате анализа было выделено два фактора, объясняющих 87% дисперсии переменных. После вращения факторов методом varimax была получена следующая факторная структура:
| Переменная | Фактор 1 | Фактор 2 |
| Выручка от реализации | 0.92 | 0.18 |
| Себестоимость продаж | -0.84 | -0.31 |
| Коммерческие расходы | -0.22 | -0.91 |
| Управленческие расходы | -0.15 | -0.93 |
Фактор 1 был интерпретирован как "Объем продаж и себестоимость", а фактор 2 - как "Расходы на продвижение и управление".
Таким образом, факторный анализ показал, что на прибыль от продаж предприятия в 2022 году наибольшее влияние оказывали объем продаж, себестоимость продукции, а также коммерческие и управленческие расходы. На основе этих результатов можно разработать мероприятия по оптимизации данных факторов для повышения прибыльности предприятия.
Этот пример демонстрирует, как факторный анализ позволяет выявить скрытые факторы, влияющие на изучаемое явление, и использовать полученные результаты для принятия управленческих решений.
В экономическом анализе существуют два основных подхода к моделированию факторных систем: детерминированный (функциональный) и стохастический (вероятностный).
Детерминированное моделирование факторных систем основано на строгой функциональной зависимости между результативным показателем и факторами, его определяющими. Это означает, что каждому значению факторов соответствует единственное значение результативного показателя. Примерами детерминированных факторных моделей могут служить:
При детерминированном подходе широко применяются следующие методы моделирования:
При стохастическом подходе связь между результативным показателем и факторами является не строго функциональной, а вероятностной, корреляционной. Это означает, что одному и тому же значению факторов может соответствовать множество возможных значений результативного показателя. Стохастические модели применяются, когда невозможно выделить и количественно оценить все факторы, влияющие на результат. Основными методами стохастического факторного анализа являются:
Выбор подхода зависит от специфики анализируемого объекта, наличия исходных данных, целей исследования. Детерминированный подход применяется при наличии функциональных зависимостей, стохастический - при вероятностных связях и невозможности учесть все факторы.
Детерминированный подход в моделировании основан на предположении, что каждый фактор или переменная в модели имеет строго определенное значение, которое однозначно определяет результат. Иными словами, при заданных начальных условиях и входных параметрах модель будет давать один и тот же выходной результат. Это означает, что в детерминированных моделях отсутствует элемент случайности или неопределенности.
Рассмотрим несколько примеров детерминированных моделей:
Траекторию движения тела в этом случае можно описать системой дифференциальных уравнений:
Где:
При заданных начальных условиях (угол бросания, начальная скорость) эта система уравнений однозначно определяет траекторию движения тела. Никакие случайные факторы не влияют на результат.
Одной из классических детерминированных моделей в эпидемиологии является модель SIR (Susceptible - Infected — Recovered):
Где:
При заданных начальных условиях (численности S, I, R в начальный момент времени) и известных параметрах β и γ, эта система обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет точно рассчитать динамику распространения эпидемии.
Модель Солоу описывает экономический рост с помощью производственной функции:
При заданных значениях K, L, A и α модель однозначно определяет объем производства Y. Это детерминированная модель, не учитывающая случайные шоки или неопределенность.
Детерминированные модели широко используются в различных областях науки и техники благодаря их простоте и возможности получить точные аналитические решения. Однако они не учитывают случайные факторы, которые часто присутствуют в реальных системах. Для более адекватного описания таких систем применяются стохастические (вероятностные) модели.
Вероятностный подход в моделировании основан на использовании теории вероятностей и статистических методов для описания и анализа случайных процессов и явлений. Он предполагает, что связь между переменными носит вероятностный, или стохастический, характер, то есть каждый фактор может иметь множество возможных исходов с определенными вероятностями их наступления. Рассмотрим несколько примеров применения вероятностного подхода в различных областях:
В логистике и управлении цепями поставок используются вероятностные модели для прогнозирования спроса на товары и услуги. Вместо точечных оценок спроса, модели строят распределения вероятностей возможных объемов спроса, учитывая различные факторы, такие как сезонность, промоакции, экономические условия и т.д.
Например, допустим, мы хотим спрогнозировать спрос на новый продукт в следующем месяце. Вероятностная модель может выдать следующее распределение:
| Объем спроса | Вероятность |
| 1000 единиц | 0.2 |
| 1500 единиц | 0.4 |
| 2000 единиц | 0.3 |
| 2500 единиц | 0.1 |
Такое распределение позволяет оценить риски и принять обоснованные решения по запасам, ценообразованию и другим аспектам управления цепочкой поставок.
Банки используют вероятностные модели для оценки кредитоспособности заемщиков и принятия решений о выдаче кредитов. Модели строятся на основе исторических данных о заемщиках и их кредитной истории, а также различных факторов риска, таких как доход, возраст, профессия и т.д.
Например, модель может оценить вероятность дефолта заемщика по кредиту в течение следующего года как 0.07 (или 7%).
Банк может установить пороговое значение, скажем, 0.1, и отклонять заявки с более высокой вероятностью дефолта.
В задачах обработки естественного языка, таких как распознавание речи и машинный перевод, широко применяются вероятностные модели, основанные на скрытых марковских моделях (HMM) и нейронных сетях. Эти модели оценивают вероятности последовательностей слов или фонем на основе обучающих данных и используют эти вероятности для выбора наиболее правдоподобного варианта распознавания или перевода. Нормативно-правовая база, регулирующая применение вероятностных моделей в РФ, включает следующие документы:
Статистические данные, подтверждающие эффективность вероятностного подхода, можно найти в многочисленных научных публикациях и отраслевых исследованиях. Например, согласно отчету McKinsey&Company, внедрение вероятностных моделей прогнозирования спроса позволило компаниям сократить избыточные запасы на 20-50% и повысить уровень обслуживания клиентов на 5-10%.
Существует несколько основных методов проведения факторного анализа:
Данный метод основан на последовательной замене базисной величины одного из факторов в стоимостной модели на фактическую величину отчетного периода и определении влияния этого фактора на изменение результативного показателя. Рассмотрим пример расчета влияния факторов на изменение выручки от реализации продукции:
| Показатель | Базисный период | Отчетный период |
| Объем продаж, шт. | 1000 | 1200 |
| Цена за единицу, руб. | 500 | 600 |
| Выручка от реализации, тыс. руб. | 500 | 720 |
1. Влияние изменения объема продаж:
2. Влияние изменения цены:
Таким образом, увеличение объема продаж привело к росту выручки на 100 тыс. руб., а рост цены - на 120 тыс. руб. Общее изменение выручки составило 220 тыс. руб.
Данный метод заключается в определении влияния факторов путем умножения абсолютного прироста факторного показателя на базисную (плановую) величину результативного показателя, деленную на соответствующий базисный уровень факторного показателя. Пример расчета влияния факторов на изменение фонда оплаты труда:
| Показатель | Базисный период | Отчетный период |
| Численность работников, чел. | 100 | 110 |
| Средняя зарплата, тыс. руб. | 50 | 55 |
| Фонд оплаты труда, млн руб. | 5 | 6,05 |
Влияние изменения численности работников:
Влияние изменения средней зарплаты:
Общее изменение фонда оплаты труда составило 1,05 млн руб., из которых 0,5 млн руб. обусловлено ростом численности, а 0,55 млн руб. - повышением средней зарплаты.
Данный метод основан на определении влияния факторов путем умножения относительного прироста факторного показателя на фактическую величину результативного показателя в отчетном периоде.
Допустим, необходимо проанализировать влияние факторов на изменение выручки от реализации продукции. Выручка от реализации продукции (В) зависит от двух факторов: количества реализованной продукции (Q) и средней цены реализации единицы продукции (Ц).
Факторная модель имеет вид:
Исходные данные:
Расчет влияния факторов методом относительных разниц:
Таким образом, увеличение количества реализованной продукции на 20% привело к росту выручки на 20 000 руб., а увеличение средней цены реализации на 10% - к росту выручки на 10 000 руб. Общий прирост выручки составил 30 000 руб.
Метод относительных разниц позволяет количественно оценить влияние каждого фактора на изменение результативного показателя, что важно для принятия управленческих решений по повышению эффективности деятельности организации.
Применяется для расчета влияния факторов в мультипликативных моделях. Заключается в логарифмировании обеих частей модели и последующем дифференцировании.
Рассмотрим пример расчета влияния факторов на изменение объема производства продукции с использованием интегрального метода: Объем производства продукции (V) определяется произведением производительности труда (W) и численности рабочих (N):
Логарифмируем обе части уравнения:
Продифференцируем по переменным W и N:
Подставляя фактические значения показателей базисного (0) и отчетного (1) периодов, получим:
Пусть в базисном периоде V0 = 1000 ед., W0 = 10 ед./чел., N0 = 100 чел., а в отчетном периоде V1 = 1200 ед., W1 = 12 ед./чел., N1 = 100 чел.
Тогда влияние факторов будет следующим:
Общее изменение объема производства:
Таким образом, рост производительности труда на 2 ед./чел. привел к увеличению объема производства на 200 ед. продукции, в то время как численность рабочих осталась неизменной.
Интегральный метод обеспечивает высокую точность расчетов и не зависит от порядка расположения факторов в модели. Однако для его применения требуется знание соответствующих формул для конкретного вида модели.
Используется для анализа степенных моделей. Основан на логарифмировании обеих частей модели и последующем дифференцировании. моделей с целью их последующего анализа. Суть метода заключается в следующем:
1. Берется исходная степенная модель вида:
2. Обе части уравнения логарифмируются по одному и тому же основанию (обычно натуральному):
3. Полученное линейное уравнение решается стандартными методами регрессионного анализа для нахождения коэффициентов a и b.
Рассмотрим конкретный пример применения метода логарифмирования. Пусть имеются следующие данные о зависимости урожайности Y (ц/га) от внесенного количества удобрений X (кг/га):
| X | Y |
| 50 | 18 |
| 60 | 21 |
| 70 | 24 |
| 80 | 27 |
Предположим, что связь между X и Y описывается степенной моделью:
Логарифмируем обе части по натуральному основанию:
Подставляя имеющиеся данные, получаем систему линейных уравнений:
Решая эту систему методом наименьших квадратов, находим оценки коэффициентов: ln(a) = 1.92, b = 0.63.
Следовательно, исходная степенная модель имеет вид:
Таким образом, метод логарифмирования позволяет свести нелинейную степенную модель к линейному виду и оценить ее параметры известными методами регрессионного анализа
Выбор конкретного метода зависит от вида факторной модели (аддитивная, мультипликативная, кратная и т.д.), количества факторов, требуемой точности расчетов. Наиболее распространенными являются методы цепных подстановок и абсолютных разниц ввиду их относительной простоты и наглядности.
По данным Росстата, в 2022 году факторный анализ применялся на 67% крупных и средних промышленных предприятий России для оценки влияния различных факторов на финансовые результаты деятельности. Это свидетельствует о широком распространении данного метода в отечественной практике управленческого учета и анализа.
Результаты факторного анализа имеют широкое применение в различных сферах, позволяя выявлять скрытые факторы, влияющие на исследуемые явления, и использовать эту информацию для принятия обоснованных решений. Рассмотрим некоторые примеры использования результатов факторного анализа.
В экономике факторный анализ помогает выявить ключевые факторы, влияющие на финансовые показатели предприятия или отрасли. Например, при анализе рентабельности производства можно выделить такие факторы, как производительность труда, материалоемкость, энергоемкость и другие. Зная вклад каждого фактора, можно разработать стратегии повышения эффективности, спрогнозировать изменения показателей при различных сценариях. Приведем пример расчета резервов роста рентабельности продукции на основе факторного анализа:
| Фактор | Факторная нагрузка | Резерв роста, % |
| Производительность труда | 0,82 | 12,3 |
| Материалоемкость | -0,74 | 8,5 |
| Фондоотдача | 0,65 | 6,7 |
Из таблицы видно, что наибольший резерв роста рентабельности связан с повышением производительности труда и снижением материалоемкости.
В маркетинге факторный анализ применяется для изучения потребительских предпочтений и сегментации рынка. Например, при анализе факторов, влияющих на выбор смартфона, могут быть выделены такие факторы, как производительность, дизайн, камера, бренд и цена. Зная вклад каждого фактора, компания может сфокусироваться на наиболее важных для потребителей характеристиках при разработке новых моделей.
В социологии факторный анализ используется для выявления латентных переменных, определяющих социальные установки и поведение людей. Например, при изучении факторов, влияющих на успеваемость студентов, могут быть выделены такие факторы, как мотивация, способности, условия обучения, социальное окружение. Эта информация помогает разрабатывать программы поддержки и развития студентов.
Таким образом, результаты факторного анализа находят широкое применение в различных областях, позволяя выявлять скрытые факторы, влияющие на исследуемые явления, и использовать эту информацию для принятия обоснованных решений, планирования и прогнозирования.
Факторный анализ широко применяется в различных сферах, в том числе в экономике и финансах, для изучения взаимосвязей между множеством переменных. В зависимости от характера этих взаимосвязей выделяют следующие основные виды факторных моделей:
В аддитивной модели результативный показатель представляется в виде алгебраической суммы факторов. Например, объем выручки компании может быть выражен как сумма выручки от продажи различных видов продукции:
В мультипликативной модели результативный показатель является произведением факторов. Так, объем товарооборота торгового предприятия может быть представлен как произведение количества проданных товаров и средней цены единицы товара:
В кратной модели результативный показатель выражается как отношение факторов. Например, рентабельность продаж может быть рассчитана как отношение прибыли от продаж к выручке от реализации:
Смешанная модель представляет собой комбинацию различных типов связей между факторами. Например, производительность труда может быть выражена как произведение выработки в смену и количества отработанных смен, деленное на численность работников:
Выбор конкретного вида факторной модели зависит от специфики анализируемого объекта и целей исследования. При этом важно учитывать допущения, лежащие в основе каждой модели, и корректно интерпретировать полученные результаты.
Рассмотрим пример использования мультипликативной модели для факторного анализа товарооборота торгового предприятия, реализующего кухонные гарнитуры.1
Предположим, что в отчетном периоде было продано 250 кухонных гарнитуров по средней цене 120 тыс. руб. Тогда товарооборот составит:
Допустим, в следующем периоде количество проданных гарнитуров увеличилось до 280 штук, а средняя цена выросла до 135 тыс. руб. Новый товарооборот будет равен:
Таким образом, рост товарооборота на 7 800 000 руб. произошел за счет увеличения количества проданных гарнитуров на 30 штук и повышения средней цены на 15 тыс. руб. Используя способ цепных подстановок, можно количественно оценить влияние каждого фактора:
Сумма этих величин равна общему приросту товарооборота 7 350 000 руб. Данный пример иллюстрирует применение мультипликативной факторной модели для анализа товарооборота торгового предприятия. Аналогичным образом могут строиться и другие виды моделей в зависимости от специфики анализируемого показателя
Оценка качества такой модели имеет важное значение, поскольку от ее точности зависит достоверность выводов и эффективность принимаемых на ее основе управленческих решений. Рассмотрим основные критерии оценки качества факторной модели.
Прежде всего, факторная модель должна адекватно отражать реальные экономические процессы и взаимосвязи между переменными. Например, если мы анализируем факторы, влияющие на выручку предприятия, то в модель необходимо включить такие факторы, как объем продаж, цены реализации, ассортимент продукции и т.д. Игнорирование существенных факторов приведет к искажению результатов анализа.
Качественная факторная модель должна обеспечивать высокую точность расчетов и согласованность результатов при использовании различных методов факторного анализа. Например, при применении метода цепных подстановок и метода абсолютных разниц для одной и той же модели должны получаться близкие значения влияния факторов.
Рассмотрим пример расчета влияния факторов на изменение выручки от реализации продукции методом цепных подстановок:
| Показатель | Базисный период | Отчетный период |
| Объем продаж, шт. | 1000 | 1200 |
| Цена реализации, руб. | 500 | 600 |
| Выручка, тыс. руб. | 500 | 720 |
Изменение выручки составило:
Влияние факторов:
Сумма влияний факторов (100 + 120 = 220 тыс. руб.) совпадает с общим изменением выручки, что свидетельствует о согласованности расчетов.
Качественная факторная модель должна учитывать все существенные факторы, влияющие на результативный показатель. Игнорирование важных факторов может привести к неполноте анализа и ошибочным выводам. Например, при анализе рентабельности производства необходимо рассмотреть такие факторы, как объем выпуска продукции, себестоимость, цены реализации, коммерческие и управленческие расходы и т. д.
Результаты факторного анализа должны иметь практическую ценность и быть применимы для принятия управленческих решений. Модель должна не только выявлять степень влияния факторов, но и позволять определить резервы повышения эффективности деятельности предприятия, разработать мероприятия по устранению негативных факторов и усилению положительных.
Таким образом, оценка качества факторной модели базируется на комплексном анализе ее соответствия реальным экономическим процессам, точности и согласованности расчетов, полноты охвата факторов, а также практической применимости полученных результатов. Только качественная факторная модель может служить надежным инструментом для принятия обоснованных управленческих решений.
Мультипликативная факторная модель - это вид детерминированной факторной модели, в которой результативный показатель представляет собой произведение нескольких факторов. Связь между результативным показателем и факторами носит мультипликативный (перемножающий) характер. Примером мультипликативной модели может служить модель для расчета выручки от реализации продукции:
Здесь выручка является результативным показателем, а количество реализованной продукции и цена реализации - факторами модели, связанными мультипликативной зависимостью.
Рассмотрим конкретный пример. Предприятие в базисном периоде реализовало 1000 единиц продукции по цене 500 руб. за единицу. В отчетном периоде объем реализации составил 1200 единиц, а цена выросла до 550 руб. за единицу. Рассчитаем выручку в базисном и отчетном периодах:
Используя способ цепных подстановок, можно определить влияние каждого фактора на изменение выручки:
1. Влияние изменения количества реализованной продукции:
2. Влияние изменения цены реализации: Отклонение = 660 000 - 600 000 = 60 000 руб.
Таким образом, рост выручки на 160 000 руб. произошел за счет увеличения объема реализации на 100 000 руб. и роста цены на 60 000 руб.
Мультипликативные модели широко применяются в экономическом анализе для изучения влияния факторов на различные показатели, такие как прибыль, рентабельность, фондоотдача, производительность труда и др. Они позволяют выявить резервы роста результативных показателей и принять обоснованные управленческие решения.