Формирование диверсифицированного портфеля акций и прогноз индекса MICEXBMI

Садовникова Наталья Алексеевна
доктор экономических наук, профессор,
заведующая кафедрой отраслевой и бизнес-статистики
Российского экономического университета имени Г.В. Плеханова
Богданов Евгений Александрович
руководитель проектов программы информационной безопасности
ООО «Эйч-эс-би-си Банк (РР)»
Общество: политика, экономика, право
№1 2016

Приверженность разным теориям рынка, выбор того или иного стиля инвестирования и использование разных стратегий определяют подход к созданию портфеля ценных бумаг [1, с. 603]. В данной статье формирование оптимального портфеля акций на российском фондовом рынке основано на принципах модели оценки капитальных активов. В качестве стиля выбрано инвестирование в рост для краткосрочного периода в 2-3 месяца и последующий пересмотр портфеля. Расчеты доходности и риска акций базируются на исторических данных за 3 месяца 2015 г.

Таблица 1 - Основные индексы акций

В целях формирования диверсифицированного портфеля целесообразно включать в него акции разных видов экономической деятельности [2, c. 47]. На Московской бирже (MOEX) используются индексы, названия и коды которых приведены в таблице 1 [3]. Наряду с основными индексами применяются отраслевые (таблица 2).

Таблица 2 - Основные отраслевые индексы акций

Степень тесноты и направления связи между акциями разных видов экономической деятельности оценивалась на основе расчета и анализа парных коэффициентов корреляции Пирсона (г_ху), величина которых отражает тесноту связи (таблица 3). Знак коэффициента корреляции показывает направление связи: положительный - прямую зависимость, отрицательный - обратную.

Таблица 3 - Характеристика связи на основе коэффициента корреляции

Для анализа использованы ежедневные данные по каждому из отраслевых индексов за период с 6 января 2014 г. по 31 марта 2015 г. Результаты вычислений приведены в таблице 4.

Таблица 4 - Матрица парных коэффициентов корреляции между акциями из разных видов экономической деятельности

Очевидно, что акции разных видов экономической деятельности по-разному связаны. Например, практически отсутствует связь между отраслями «Металлы и добыча» (MICEXM&M) и «Банки и финансы» (MICEXFNL): /micexm&m/micexfnl = 0,056. Сильная прямая зависимость наблюдается между отраслями «Металлы и добыча» (MICEXM&M) и «Химическое производство» (MICEXCHM), парный коэффициент корреляции которых составил 0,961, и умеренная обратная связь - между отраслями «Металлы и добыча» (MICEXM&M) и «Транспорт» (MICEXTRN): /micexm&m/micexfnl = 0,691.

Для формирования сбалансированного диверсифицированного портфеля акций необходимо включить в его состав акции тех видов экономической деятельности, характер связи которых статистически значим. Для этого поставлена задача: на основе матрицы парных коэффициентов корреляции (см. таблицу 4) определить, индексы каких видов экономической деятельности сформируют состав портфеля [4, c. 111].

Для вычисления индекса вхождения в портфель введены бинарные переменные W1...W9 (0; 1), которые соответствуют переменным MICEXCGS, MICEXCHM, MICEXFNL, MICEXM&M, MICEXMNF, MICEXO&G, MICEXPWR, MICEXTLC, MICEXTRN. Значение W1...W9, равное 1, определяет вхождение элемента в портфель, 0 - его отсутствие в портфеле.

Вспомогательная матрица вычисляется умножением каждого элемента исходной матрицы на соответствующие W1...W9, находящиеся на пересечении строк и столбцов. Таким образом, если оба элемента из MICEXCGS, MICEXCHM, MICEXFNL, MICEXM&M, MICEXMNF, MICEXO&G, MICEXPWR, MICEXTLC, MICEXTRN входят в состав портфеля, то их W1...W9 равны 1 и парный коэффициент корреляции включается в матрицу. Следовательно, если одна из переменных W1...W9 равна 0, то коэффициент не включается.

Целевая функция представляет собой сумму включенных парных коэффициентов по строкам и столбцам. Необходимо отметить, что подобное сложение применяется исключительно для оптимизации, поскольку помогает определить оптимальный набор разнонаправленных пар. Кроме того, результат вычисления целевой функции не несет никакой смысловой нагрузки, так как сложение парных коэффициентов корреляции недопустимо.

Для расчета тесноты связи между выбранными индексами используется множественный коэффициент корреляции. Для оптимизации модели целевая функция минимизируется, то есть находится та комбинация индексов, парные коэффициенты корреляции которых или разнонаправленны, или имеют слабую тесноту связи.

В качестве изменяемых параметров заданы бинарные переменные W1... W9. Бинарные ограничения на W1...W9 позволяют принимать только значения 0 и 1. Дополнительно важным ограничением является сумма W1...W9, большая или равная 5. Это ограничение введено в целях диверсификации как необходимость включения минимум 5 разных отраслевых индексов. Иначе оптимизатор не включит ни одного индекса, а целевая функция будет равна 0.

Результаты расчетов приведены в таблице 5. В оптимальный состав портфеля вошли следующие отраслевые индексы: MICEXCGS («Потребительские товары и торговля»); MICEXCHM («Химическое производство»); MICEXM&M («Металлы и добыча»); MICEXMNF («Машиностроение»); MICEXTRN («Транспорт»).

Таблица 5 - Оптимизированная модель

Множественный коэффициент корреляции определен по формуле

r_{у.12_m} = (r_y1b'₁ + r_y2b'₂ + ... + r_ymb'_m)^0.5,

где r_у - парный коэффициент корреляции,
b'_i - коэффициент регрессии в стандартизированном масштабе.

Рассчитанный множественный коэффициент корреляции для портфеля, состоящего из всех 9 отраслевых индексов, составил 0,911; из 5 отраслевых индексов, отобранных с помощью оптимизационной модели, - 0,717, что показывает менее тесную связь, но все же сильную. Результат может быть использован для отбора акций из соответствующих видов экономической деятельности.

При формировании портфеля акций рассмотрена рыночная модель CAPM, согласно которой ожидаемая доходность ценной бумаги связана с коэффициентом бета, отражающим зависимость доходности акции от доходности рыночного индекса.

Для определения доходности рынка рассмотрим индекс MICEXBMI, по которому и построим прогноз доходности и риска рынка. Данный индекс представляет собой ценовые, взвешенные по рыночной капитализации композитные индексы российского фондового рынка, включающие 50 наиболее ликвидных акций крупнейших и динамично развивающихся российских эмитентов. Ввиду сложности природы рыночного индекса применение тривиальных методов прогнозирования не дает корректных результатов [5, с. 64]. Поэтому часто для расчета ожидаемой доходности используют математическое ожидание на основе исторических данных, предполагая аналогичную доходность в будущем. Для анализа рассмотрен временной ряд данных о ежедневной цене закрытия индекса MICEXBMI за период с 12 марта по 25 августа 2015 г.

Модель строилась методом изучения известных типов трендов по мере усложнения уравнения. Графический анализ временного ряда, а также экономическая природа индекса MICEXBMI показали высокую интенсивность колебаний ряда и периодичность. Следовательно, целесообразно исследовать периодические колебания методами спектрального анализа. С этой целью возможно использование гармоник Фурье [6, с. 81].

В результате исследования тенденции сглаженного ряда индекса MICEXBMI получена модель гармоники Фурье шестого порядка:

y_t = a₀ + a₂cos2t + b₃sin3t + b₄sin4t + a₅cos5t + a₆cos6t;

y_t = 1169.36 - 14.66cos2t - 4.70sin3t - 14.16sin4t - 8.12cos5t - 2.82cos6t

Коэффициенты модели a₂, b₂, b₄, a₅ статистически значимы на уровне 0,001 %; a₆ - на уровне 0,050 %. Расчетная величина F-критерия Фишера - Снедекора F(5,109) = 93,271 больше табличного значения. Коэффициент детерминации R² = 0,814 показал высокую объяснительную силу модели. На это же указывает низкое значение остатков RSS = 7748,58. Стандартная ошибка регрессии составила S_e = 8,43. Математическое ожидание μ = 1169,13, стандартное отклонение σ = 18,94 [7, с. 187]. Коэффициент изменчивости остатков составил V = S_e/M = 0,007, что является допустимой погрешностью для модели, используемой для прогнозирования [8, с. 210].

Также проведен ряд тестов, которые показали нормальность распределения остатков, отсутствие гетероскедастичности (тест Уайта), структурных разломов в тенденции (тест Чоу). Тест Дарбина - Уотсона (DW = 0,23) подтвердил автокорреляцию во временном ряду [9, с. 84].

Таким образом, модель гармоники Фурье использована для прогнозирования индекса MICEXBMI. С учетом длины временного ряда (115 наблюдений) прогнозный период составил 10 уровней на период с 7 по 20 октября 2015 г. (таблица 6). Стандартная ошибка прогноза варьируется в пределах 8,696-9,316 %, что можно считать удовлетворительной погрешностью.

Таблица 6 - Прогноз индекса MICEXBMI

Получив прогнозные значения индекса MICEXBMI на период с 7 по 20 октября 2015 г., можно рассчитать ожидаемую доходность и риск рынка, %:

• математическое ожидание (доходность) г = -0,09;
• стандартное (среднеквадратическое) отклонение (риск) σ = 0,25.

Очевидно, что на «падающем» рынке доходность отрицательная. Тем не менее, анализируя прогнозируемый тренд, можно выделить периоды «роста» и «падения». При правильной стратегии входа в акции и выхода из них возможно получить более высокую доходность, если инвестировать в ценные бумаги во время «роста», а выходить - на этапе «падения». Существуют и другие способы получения доходности на «падающем» рынке, например «короткие» продажи (short selling). При инвестировании на повышающейся цене доходность и риск индекса для периода роста с 10 по 30 сентября 2015 г. составили, %:

• r = 3,02;
• σ = 0,10.

Прогноз показал удовлетворительную погрешность, стандартная ошибка варьируется на уровне 6,5-7,2 %. На основании анализа определены ожидаемые доходность и риск индекса MICEXBMI. Предлагаемый подход приемлем для долгосрочного инвестирования, для краткосрочной перспективы результаты оказываются некорректными. В статье использована более сложная модель прогноза ожидаемой доходности рыночного индекса с применением ряда Фурье.

Ссылки и примечания:

1. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. М., 2014. 848 с.

2. Садовникова Н.А., Дарда Е.С. Методология организации статистического наблюдения за затратами финансовых организаций: монография. Ярославль, 2013. 187 с.

3. Полную информацию см. на официальном сайте Московской биржи (http://moex.com/ru/indices).

4. Садовникова Н.А., Сакова О.И., Солтаханов А.У. Инвестиции в основной капитал в Российской Федерации. Методология статистического и эвристического анализа: монография. Саарбрюккен, 2012. 173 с.

5. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. М., 1977. 199 с.

6. Садовникова Н.А., Шмойлова Р.А. Анализ временных рядов и прогнозирование: учебник. М., 2016. 152 с.

7. Френкель А.А. Прогнозирование производительности труда: методы и модели. М., 1989. 214 с.

8. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. М., 2002. 253 с.

9. Садовникова Н.А., Шмойлова Р.А. Указ. соч. С. 84.