Математическая модель простого режима воспроизводства предприятия

Жирков А.В.
109316, Москва, ул. Талалихина, дом 33.
Московский Государственный Университет Прикладной Биотехнологии,
Машиностроение и компьютерные технологии
№11 2009

Производственная функция простого режима воспроизводства предприятия

В процессе производства, с одной стороны, осуществляются капиталовложения и ввод основных производственных фондов (ОПФ) в эксплуатацию. Этим процессом обусловлено увеличение количества производственных фондов. С другой стороны, происходит уменьшение производственных фондов в результате амортизации и выбытия. Если в качестве модели движения производственных фондов принять инерционное звено первого порядка, у которого внешнее воздействие I(t) - интенсивность потока капиталовложений, S(t) - интенсивность потока амортизации и T - лаг эксплуатации производственных фондов, тогда текущая стоимость производственных фондов определяется операторным уравнением (применение метода преобразования Лапласа [5]):

F(s) = 1/s[I(s) - A(s) + F₀], (1)

где F₀ - начальная стоимость производственных фондов.

Запишем изображение процесса амортизации в виде:

A(s) = 1/T*F(s) = nF(s), (2)

то есть амортизация пропорциональна текущей стоимости производственных фондов и составляет постоянную ее долю. Доля амортизированных фондов n - норма амортизации. Подставив реакцию A(s) в (1) и решив это уравнение относительно F(s), получим следующую зависимость накопленного количества производственных фондов от капиталовложений:

F(s) = 1/(s + n)[I(s) + F₀]. (3)

Предположим теперь, что производственная функция зависит только от стоимости производственных фондов, то есть является однофакторнойй. В данном случае абстрагируемся от трудовых ресурсов и прочих параметров, так как они не влияют на окончательный результат. Запишем однофакторную динамическую производственную функцию сельхозпредприятия:

x(t) = μf(t) ↔ X(s) = μF(s). (4)

где m - фондоотдача.

Подставив в (4) полученное выражение (3), получим зависимость интенсивности выпуска от интенсивности потока капиталовложений в операторной форме:

X(s) = Ф(s)[I(s) + F₀], Ф(s) = μ/(s + n), (5)

где F(s) - передаточная функция производственной функции простого режима воспроизводства предприятия.

Математическая модель простого режима воспроизводства предприятия

 В синтезе модели отдельного предприятия будем исходить из того, что объем произведенной и реализованной продукции зависит от остаточной стоимости ОПФ, которая может увеличиваться или уменьшаться. Она возрастает в зависимости от капиталовложений и уменьшается в результате амортизации и выбытия некоторой части основных средств. Следовательно, рост объемов выпуска может быть обеспечен в том случае, если капиталовложения превышают количество изношенных ОПФ, тогда и текущая их стоимость увеличивается. При снижении стоимости ОПФ рост объема выпуска может быть достигнут за счет повышения фондоотдачи, то есть влияния научно-технического прогресса. Эти явления отражает модель производства в виде однофакторной динамической производственной функции.

Капиталовложения слагаются из централизованных средств I(t) и отчислений от дохода U(t). Предположим, что отчисления регламентируются нормативом a < 1. Тогда функциональную структуру развития предприятия можно представить в виде модели с положительной обратной связью, состоящей из двух звеньев. Усилительное звено 2 отражает процесс выделения собственных капиталовложений при нормативе отчислений от объема реализации продукции a. Вместе с централизованными капиталовложениями собственные средства воздействуют на звено производства 1, изменяя стоимость ОПФ и объем дохода от реализации продукции X(t) в виде динамической производственной функции.
Рис.1.

Чтобы найти передаточную функцию системы необходимо разрешить следующую систему уравнений относительно X(s):

F(s) = 1/s[I(s) - A(s) + F₀],
X(s) = μF(s),
U(s) = aX(s),
A(s) = nF(s), (6)

где n - норма амортизации,
F₀ - начальное значение стоимости ОПФ,
m - фондоотдача в единицах измерения остаточной стоимости ОПФ,
a - норматив отчислений в фонд развития производства,
n - норма амортизации.

В результате получим:

X(s) = μ/[s - (μa - n)]*X(s) + x₀/[s - (μa - n)], (7)

где первое слагаемое - вынужденная, а второе - свободная составляющая;
x₀ - начальное значение интенсивности производства и реализации продукции.

Передаточная функция системы равна

Ω(s) = μ/[s - (μa - n)].

Структура системы с такой передаточной функцией показана на рис.1.

Заключение

Получена математическая модель простого режима воспроизводства предприятия. Данная модель развития предприятия пригодна для анализа сложных систем, в которые эта модель может входить как составной элемент.

Литература

1. Кибернетика: прошлое для будущего., М.: Наука, 1989. - (Серия «Кибернетика - неограниченные возможности и возможные ограничения»), 135 с.

2. Кибернетика. Современное состояние., М.: Наука, 1980. - (Серия «Кибернетика - неограниченные возможности и возможные ограничения»), 72 с.

3. Неймарк Ю.И. Математические модели естествознания и техники. Нижний Новгород: ННГУ, 1994. Вып. 1. 83 с.; 1996. Вып. 2. 154 с.

4. Н.П. Бутов, д.т. н. ВНИПТИМЭСХ, В.Н. Чекарь, инженер АЧГАА, «Экономико-математическая модель оптимизации дилерского предприятия»,УДК 631.173.6, г. Зеленоград, журнал "Механизация и электрификация сельского хозяйства" №2 2001г.

5. http://ru.wikipedia.org/wiki/Преобразование_Лапласа