Сравнение наращения по схеме простых и сложных процентов при кратном начислении

Аникин М.С.,
студент факультета учета и аудита
Финансового университета
Научные записки молодых исследователей
№2-3 2013

Когда экономика растет, вместе с ее ростом увеличивается благосостояние населения. Население, в свою очередь, предпочитает хранить излишки денежных средств на депозитных счетах в банках. Основными отличиями хранения денег на депозитах от хранения денег «под матрасом» или «в кубышке», являются:

• наличие рисков, связанных с возможностью банкротства банка;
• различные сроки вклада;
• выплата банком вкладчику процентов за пользование его деньгами.

От рисков банкротства нас освобождает государство, пусть только в размере до 1 000 000 рублей. А вот два других пункта требуют особого освещения.

В последние 5 лет в структуре вкладов физических лиц в зависимости от сроков размещения наблюдается следующая тенденция (рис 1).

Видно, что вкладчики охотно размещают свои сбережения на депозитах на срок менее года. Зачастую такое решение обусловлено нестабильностью экономики нашей страны и высокой волатильностью процентных ставок. Но сегодня вклады в различных банках отличаются не только величиной процентной ставки, но и кратностью начисления процентов (количеством начислений процентов в год), которой следует уделить особое внимание при сроке вклада менее года. Так почему же кратность начисления столь важна? Для ответа на поставленный вопрос в первую очередь необходимо обратиться к формуле, определяющей наращенную сумму для простых и для сложных процентов. Итак, наращенная сумма для простых процентов при однократном начислении процентов определяется следующим образом:

S_n = S₀*(1 + i*n),

где S_n — наращенная сумма;
S₀ — начальная сумма депозита;
i — годовая ставка процента;
n — срок вклада (в годах).

Для сложных процентов при однократном начислении процентов наращенная сумма определяется так:

S_n = S₀*(i + i)ⁿ,

где S_n — наращенная сумма;
S₀ — начальная сумма депозита;
i — годовая ставка процента;
n — срок вклада (в годах).

Наращенная сумма при сроке вклада до года и однократном начислении процентов будет больше в случае использования простых процентов. Это строго доказано в пособиях [1, 2] и можно увидеть на графике¹ (рис. 2).

¹ При построении графиков во всей работе ставка i принималась равной 30%.

Из этого можно сделать вывод, что простые проценты выгоднее при сроке меньше года и однократном начислении процентов.

А теперь посмотрим, что же произойдет с наращенной суммой Б_п, если кратность начисления процентов изменится. Запишем формулы для наращенной суммы при кратном начислении процентов.

Простые проценты:

S_n = S₀*(l + i*n),

для простых процентов при изменении кратности ничего не меняется, получается, что на простые проценты кратность не влияет вообще, поскольку проценты начисляются каждый раз на исходную величину S₀

Сложные проценты:

S_n = S₀*(1 + i/k)^k*n,

где k — кратность начисления процентов (например, при ежеквартальном начислении k = 4).

Нельзя однозначно сказать, будет ли расти наращенная сумма при изменении кратности. Для того чтобы проверить это и узнать, когда наращенные суммы для простых и сложных процентов при кратном начислении и сроке вклада до года станут равны, приравняем S_n, рассчитанные для простых и сложных процентов.

S₀*(1 + i/k)^k*n = S₀*(1 + i*n)

Можно заметить, что данное равенство выполняется только при n = 1/k. Отсюда можно сделать вывод, что сложные проценты становятся выгоднее простых при сроке вклада до года и кратном начислении процентов, если срок больше, чем число, обратное кратности начисления (n > 1/k).

Итак, приходим к выводу: при кратном начислении процентов сложные проценты становятся выгоднее простых после первого начисления процентов.

Проверим правильность этого вывода и построим графики (рис. 3 и рис. 4) для кратного начисления процентов с кратностью k = 2 (начисление процентов раз в полгода) и k = 3 (начисление процентов раз в 4 месяца).

Заметим, что график наращенной суммы для сложных процентов пересекает график наращенной суммы для простых процентов ровно в середине срока (k = 2) и трети срока (k = 3), то есть сложные проценты становятся выгоднее простых при сроке вклада больше, чем полгода (k = 2) и больше чем 4 месяца (k = 3), что полностью подтверждает результаты, полученные аналитически.

Таким образом, доказано, что при кратном начислении процентов сложные проценты становятся выгоднее простых после первого начисления.

Это говорит нам о том, что при выборе банка, которому вы доверите свои сбережения на период меньше года, стоит обращать внимание не только на ставку процента, но и на кратность их начисления, так как она, в свою очередь, тоже влияет на то, какую сумму вы заберете при снятии депозита.

Литература

1. Брусов П.Н., Брусов П.П., Орехова Н.П., Скородулина С.В. Финансовая математика. М.: КНОРУС, 2013. 224 с.

2. Брусов П.Н., Брусов П.П., Орехова Н.П., Скородулина С.В. Задачи по финансовой математике. М.: КНОРУС, 2013. 272 с.