Применение модифицированных производственных функций при описании процесса зернопроизводства

Артем Дмитриевич Черемухин,
преподаватель кафедры «Физико-математические науки»
Нижегородский государственный инженерно-экономический
университет, Княгинино (Россия)
Вестник НГИЭИ
№12 (91) 2018

Введение

Важность развития сектора АПК для успешного развития экономики страны подчеркивалась за последнее время как первыми лицами государства, так и большинством видных ученых и общественных деятелей. В условиях активного перехода к цифровой экономике и необходимостью внедрения новых методов государственного управления ключевым фактором, влияющим на эффективность любых преобразований, становится понимание экономических законов для управления отраслями экономики и принятия верных управленческих решений на любом уровне экономики. По нашему мнению, для эффективной реализации этой задачи возможно использовать аппарат производственных функций.

Материалы и методы

Зарождение аппарата производственных функций произошло еще в XIX в., но значительную известность они получили чуть меньше 100 лет назад после работы Кобба-Дугласа. В настоящее время метод производственных функций применяется многими учеными для анализа разных экономических процессов [1; 2; 3; 4; 5 6; 7; 8; 9; 10; 11].

Детальное описание различных видов производственных возможностей дано в работах [2; 12]. Стоит отметить, что агропроизводство тоже выступает в качестве объекта исследований с помощью ПФ - в качестве примера можно привести работы отечественных и зарубежных ученых [1; 3; 6; 7; 13].

Однако стоит отметить, что использование аппарата производственных функций в экономике происходит обычно только на уровне макроэкономики и (как следствие) с помощью преимущественно либо стоимостных, либо безразмерных показателей (индексная ПФ). Кроме того, в настоящее время результаты исследований, полученных с помощью применения ПФ, как правило, используются для детального анализа закономерностей в изучаемой системе, но почти не применяются для прогнозирования - причины этого были описаны Ю. А. Авдеевой в [9]: «Практическая реализация построенных моделей приводит к получению весьма неточных результатов. Это обусловлено тем, что при попытке построить модели реальной экономической динамики сталкиваются с многочисленными трудностями, которые сложно преодолеть, и поэтому приходится заниматься идеализацией моделей, придавая им свойства, не присущие описываемой реальной экономике».

При этом не следует забывать о том, что метод производственных функций как инструмент именно анализа позволяет очень многое сказать об исследуемой системе. ПФ многими учеными исследуется уже как математический объект - см. [14; 15; 16; 17; 18; 19], что, в свою очередь, увеличивает сферу применимости данного метода.

Решение проблемы большой неточности полученных данных (большой ошибки аппроксимации, говоря по-другому) возможно двумя путями -введением новых факторов в модель и модификацией вида ПФ (что является сегодня мейнстримом) или путем так называемой «локальной регрессии» [20; 21]. Суть его состоит в следующем: для разных групп объектов в изучаемой совокупности могут быть характерны разные конкретные формы экономических законов - то есть разные числовые коэффициенты при одинаковой форме модели. Примеры практической реализации данного подхода можно найти в работах [2; 10]. Одновременное применение обоих этих методов, по нашему мнению, является самым перспективным направлением использования ПФ для описания экономических законов. Целью данной работы является анализ производства зерна в сельскохозяйственных организациях Нижегородской области в 2012-2016 гг. с помощью производственных функций с учетом предположения о разных коэффициентах производственных функций для разных групп сельскохозяйственных организаций. Объектом изучения являются сельскохозяйственные организации Нижегородской области, занимающиеся производством только зерновых культур.

Результаты

Всего для проведения исследования было отобрано 364 объекта. На первом этапе исследования была использована ПФ вида Кобба-Дугласа с тремя факторами производства: капитал (стоимость основных средств организации), труд (количество работников организации) и земля (площадь пашни). В качестве результативного показателя был взят объем произведенных зерновых. Методом наименьших квадратов были рассчитаны коэффициенты модели, в результате чего уравнение регрессии приняло следующий вид:

Y = 10.90545 * L^-0.05371 * К^0.05891 * Т^1.01996,     (1)

где Y - количество произведенных зерновых, ц;
L - общее количество работников в организации, чел;
K - общая стоимость основного капитала, тыс. руб.;
Т - общий объем посевной площади в организации, га.

При этом полученное уравнение регрессии имело следующие статистические параметры: коэффициент детерминации 94,35 %, коэффициент ошибки аппроксимации - 83,41 %, количество организаций, для которых точность расчетов признана удовлетворительной (коэффициент ошибки аппроксимации меньше 10 %) - 17 % (62 из 364) организаций.

Полученная статистика позволяет подтвердить на практике высказанный ранее тезис о неприменимости результатов, полученных при моделировании процесса производства с помощью ПФ, для прогнозирования реальных экономических процессов, что является следствием большой ошибки аппроксимации.

В целях снижения данной погрешности нами было принято решение о модификации вида производственной функции с учетом следующих условий и предпосылок:

1. По итогам анализа корреляционной матрицы было выявлено, что на количество произведенной продукции влияет также общая мощность основных средств, находящихся в распоряжении организации и средняя заработная плата работников. В результате было принято решение о модификации вида производственной функции с учетом того, что мощность основных средств влияет на эластичность капитала, а средняя заработная плата работников - на эластичность труда, т.е. ПФ стала иметь следующий вид:

Y = а * K^b₁k+b₂L^b₃l+b₄Т^с, (2)

где k - суммарная мощность основных средств, л.с.;
l - средняя заработная плата работников, руб.

2. Было выдвинуто предположение о существовании в пятимерном пространстве ресурсов неких особых точек, вблизи которых активно проявляется та или иная разновидность экономического закона вида (2), при наличии вне этих точек общего закона. Соответственно, исходя их этого общий вид ПФ был изменен следующим образом:

Y = ∑ⁱ⁼¹_n-1[n/(n + f(K,L,Т,k,l))*Y_i] + (1 - ∑ⁱ⁼¹_n-1[n/(n + f(K,L,Т,k,l))*Y_n], (3)

где n-1 - общее количество предполагаемых особых точек;
f(K,L,T,k,l) - функция расстояния от точки в пространстве до i-й особой точки вида f(K,L,Т,k,l) = a_1i(К - K_i)² + a_2i(L - L_i)² + a_3i(T - T_i)² + a_4i(k - k_i)² + a_5i(l - l_i)²;
Y_i, Y_n - конкретная ПФ вида (2) с различными коэффициентами.

Расчет коэффициентов модели проводился с помощью методов нелинейного оценивания, в частности, симплекс-методом. Для достижения оптимального результата потребовалось пройти 8 500 итераций. Было выявлено, что наибольшую точность дает применение модели с тремя особыми точками. Расчеты проводились с помощью программы STATISTICA 10, коэффициенты представлены в таблице 1.

Таблица 1. Коэффициенты уравнения регрессии, рассчитанные согласно модели (3)

Обсуждение

Статистический анализ построенной модели вида (3) дает следующие данные: коэффициент детерминации - 93,95 %, коэффициент ошибки аппроксимации - 39,68 %, количество организаций, для которых точность расчетов признана удовлетворительной (коэффициент ошибки аппроксимации меньше 10 %) для 20 % (72 из 364) организаций. Для анализа изменения точности прогнозирования были построены графики плотности вероятности ошибки аппроксимации для двух построенных моделей.

Анализ ошибок аппроксимации моделей (1) и (3) позволяет констатировать, что модель (3) гораздо лучше предсказывает значения количества произведенной продукции в целом для всех изучаемых объектов, тогда как модель (1) больше подходит для ограниченного количества объектов.

Таблица 2. Соотношение ресурсов в организациях, относящихся к «особым» зонам

Содержательный анализ модели (3) позволяет сделать вывод, что в целом для изучаемой совокупности характерны следующие особенности:

1. При увеличении количества земли в распоряжении организации на 1 % выпуск продукции увеличивается на 1,31 % (возрастающая отдача от масштаба земли). Иными словами, более крупные организации должны в среднем иметь более высокую урожайность, чем менее крупные (при представлении производительности труда в виде Y/T данная функция прямо зависит от количества фактора Т).

2. С увеличением средней заработной платы эффективность труда как фактора производства уменьшается, что, на первый взгляд, является противоестественным и контринтуитивным выводом, однако это может быть объяснено неэффективностью системы управления в более крупных организациях, поскольку это означает, что при увеличении количества ресурсов урожайность будет падать, как и производительность труда. Однако справедливость данного тезиса подтверждается и анализом отдачи от капитала - выявлено, что при увеличении мощности основного капитала его эффективность снижается - следовательно, можно утверждать о наличии структурных и организационных проблем в большинстве крупных зернопроизводящих организаций области, снижающих эффективность производства на единицу ресурса.

3. Однако, как показывает анализ таблицы 1, в некоторых особых точках вид коэффициентов модели (3) отличается от общего по совокупности. Для более детальной характеристики «особых» организаций рассмотрим таблицу отношения ресурсов.

4. По результатам анализа таблиц 1 и 2 можно сделать следующий вывод - особая точка № 1 соответствует организациям с наибольшей трудовооруженностью производства - в среднем на 1 работника приходится 86,3 га земли), наименьшей фондовооруженностью производства и наименьшей удельной мощностью на 1 единицу земли - в среднем на 1 га приходится 1,65 л. с. мощности. Соответственно, это организации, полагающиеся на человеческий капитал как на главный ресурс экономической системы. В отличие от общих закономерностей, для этих организаций увеличение средней заработной платы ведет к увеличению объемов произведенной продукции. При этом коэффициент отдачи от масштаба равен 1,11, что меньше общего по совокупности, что может быть объяснено низким уровнем обеспеченности техникой процесса производства.

5. Организации, относящиеся к особой зоне № 2, отличаются большим значением средней мощности основных средств и низкой фондовооруженностью труда. При этом организации данного типа не отличаются от основной совокупности по смыслу законов, описывающих их производство - обращает на себя снижение коэффициента эластичности производства от земли - 1,15 против 1,31.

6. Организации особой зоны № 3 можно назвать малыми технологичными организациями - об этом говорят большие значения фондовооруженности труда и производства. Эта группа организаций отличается от всех остальных гарантированной положительной отдачей капитала - в среднем она составляет 0,012 %, то есть при увеличении стоимости основных средств на 1 % (без увеличения мощности) выпуск продукции увеличится на 0,012 %. Также обращает на себя внимание возрастание отдачи от труда при повышении заработной платы.

Общий анализ результатов исследования полученной ПФ (3) позволяет утверждать следующее:

• значительная часть сельскохозяйственных организаций неэффективно использует, в первую очередь, трудовые ресурсы - наблюдаемый по совокупности эффект снижения отдачи от труда при повышении заработной платы может быть объяснен дисбалансом в оплате труда (например, при увеличении заработной платы руководителей повышается и средняя заработная плата по организации без изменения качества управленческой работы), несовершенной или неиспользуемой техникой (из-за чего для организаций с большими объемами мощности основных средств не наблюдается эффекта роста объемов производства);
• существует системная проблема формирования структуры крупного сельскохозяйственного производства и подготовки грамотных управленческих кадров для сельскохозяйственных организаций области, занимающихся производством зерна - с одной стороны, выявлено, что на крупные сельскохозяйственные организации распространяется закон большей эффективности для крупных экономических систем; с другой стороны, было отмечено, что с увеличением средней заработной платы и мощности основных средств отдача от данных видов ресурсов падает.

Заключение

Данная работа подтвердила необходимость использования модифицированных ПФ с выделением зон действия отдельных экономических законов - это позволяет намного более точно аппроксимировать реальные экономические данные, что значительно расширяет прогностический потенциал метода ПФ.

В качестве основных направлений развития данного подхода может выступать:

1. Совершенствование функций, описывающих границы и формы особых зон.
2. Модифицирование ПФ для добавления в нее параметров, описывающих организационную структуру исследуемых экономических систем.
3. Совершенствование алгоритма анализа предложенных ПФ.

Список литературы

1. Mundlak Y., Butzer R., Donald F. Larson. Heterogeneous technology and panel data: The case of the agricultural production function // Journal of Development Economics. № 99. 2012. P. 139-149.

2. Grassetti F., Hunanyan G. On the economic growth theory with Kadiyala production function // Commun Nonlinear SciNumerSimulat. 2017. P. 1-13.

3. Cheng M., Xiang M. Application of a combination production function model // Applied Mathematics and Computation. № 236. 2014. P. 33-40

4. Pavelescu F.M. Impact of collinearity on estimated parameters of CES production function // Procedia Economics and Finance. № 22. 2015. Р. 762-769.

5. Pavelescu F.M. Methodological considerations regarding the estimated returns to scale in case of Cobb-Douglas production function // Procedia Economics and Finance. № 8. 2014. Р. 535-542.

6. Sun Ai-hua, Zhu Shi-jiang, GuoYa-fen, Zhang Zhong-xue. Jensen Model and Modified Morgan Model for Rice Water-Fertilizer Production Function // Procedia Engineering. № 28. 2012. Р. 264-269.

7. Wang Jingxian Yuyan. Determining Contribution Rate of Agricultural Technology Progress with CD Production Functions // Energy Procedia. № 5. 2011. Р. 2346-2351.

8. Кирилюк И.Л. Модели производственных функций для российской экономики / Компьютерные исследования и моделирование. 2013. Т.5. № 2.С. 293-312.

9. Авдеева Ю.А. Построение производственных функций в масштабах России на основе линейных и нелинейных моделей // Новое слово в науке и практике: гипотезы и апробация результатов исследований. 2013. № 8.С. 104-108.

10. Баранов С.В. Эконометрические модели производственных функций: история и современность // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2014. № 10-2. С. 53-57.

11. Гребнев М.И. Агрегированная производственная функция с учетом научно-технического прогресса для экономики России // Вестник Пермского университета. Серия: Экономика. 2015. № 4 (27). С. 71-79.

12. Дубницкий В.Ю., Петренко О.Е. Проверка выполнения свойств производственных функций как математических объектов // Проблемы экономики. 2013. № 2.С. 257-261.

13. Смагин Б.И. Производственная функция как основа описания технологических закономерностей аграрной сферы производства // Технологии пищевой и перерабатывающей промышленности АПК - продукты здорового питания. 2014. № 4.С. 94-100.

14. Olesen O.B., Ruggiero J. An improved Afriat-Diewert-Parkan nonparametric production function estimator // European Journal of Operational Research. 2017. № 1.Р. 1-38.

15. Moysan G., Senouci M. A note on 2-input neoclassical production Functions // Journal of Mathematical Economics. 2016. № 1.Р. 1-15

16. Bang-Yen Chen, Gabriel Eduard Volcu. Geometric classifications of homogeneous production functions // Applied Mathematics and Computation. № 225. 2013. Р. 345-351.

17. Volcu G.E. A geometric perspective on the generalized Cobb-Douglas production functions // Applied Mathematics Letters. № 24. 2011. Р. 777-783.

18. Артемьев И.Т., Артемьев Э.И., Иванов С.О. Развитие теории ломаных однофакторных производственных функций // Вестник Чувашского университета. 2013. № 3.С. 254-257.

19. Добротин С.А., Сучков Е.А., Лябина А.Н. Оценка влияния материальных и финансовых потоков предприятия на его производственную функцию // Наука и Мир. 2015. Т.3. № 11 (27). С. 8-11.

20. Cleveland, W.S. and Devlin, S.J. Locally Weighted Regression: An Approach to Regression Analysis by Local Fitting // Journal of the American Statistical Association. 1988. № 83 (403). Р. 596-610.

21. Cleveland W., Devlin S.J., Grosse E. Regression by Local Fitting: Methods, Properties, and Computational Algorithms // Journal of Econometrics. 1988. № 1 (37). Р. 87-114.