Логистика запасов: оптимизация затрат

Носов Александр Леонидович,
доктор экономических наук,
заведующий кафедрой экономики и управления трудовыми ресурсами
ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет»,
г. Киров
Концепт
№7 2015

Любое деловое предприятие для повышения своей эффективности должно особо обращать внимание на оборотные средства, львиную долю которых составляют запасы. Теория управления запасами является составной частью логистики [1], в которой даны часто общие сведения об оптимальном размере заказа и о системах управления запасами. В данной статье показаны практические возможности этой теории.

Управление запасами с использованием оптимального размера заказа, определяемого по классической формуле Вильсона, предполагает минимизацию суммарных транспортно-заготовительных и складских затрат - стоимости обеспечения запасов.

Предположим, что номенклатура запасов содержит n позиций (i = 1, .., n).

Годовой спрос для каждой позиции - S_i.

Стоимость заказа позиции - А_i.

Закупочная стоимость единицы товара - С_i

Стоимость хранения единицы запаса в год I_i определяется как доля k от стоимости товара С_i т.е.

I_i = k * C_i.

Оптимальный размер заказа –

Q_oi = √(2 * А_i * S_i / I_i) = √[2 * А_i * S_i/(k * С_i)].

Средняя годовая стоимость запасов –

B = ∑Q_oi * C_i / 2.

Стоимость обеспечения запасов –

J = ∑А_i * S_i / Q_oi + B * k.

Оптимальный размер заказа Q_oi соответствует минимально возможному значению J.

В практической деятельности возможны другие варианты оптимального управления запасами:

а) ограничение оборотных средств в запасах некоторой величиной B*;

б) минимизация затрат, связанных с запасами.

а) Ограничение оборотных средств в запасах

В условиях ограничения оборотных средств может быть лимитирована средняя годовая стоимость запасов до уровня B*.

Поскольку средняя годовая стоимость запасов пропорциональна размеру заказа, то выполняется равенство отношений

B/B* = Q_oi / Q_o*,

где Q_oi*- оптимальный размер заказа с учетом лимитирования средней годовой стоимости запасов B*.

Отсюда можно определить значение Q_oi*:

Q_oi* = Q_oi * B* / B. (1)

В книге [2] для решения поставленной задачи предлагается использовать метод множителей Лагранжа, однако не показано, как определить значение коэффициента Лагранжа λ Покажем вывод формулы для определения значения А. Стоимость обеспечения запасов J определяется:

J = ∑A_i * S_i / Q_i+ k * ∑Q_i * C_i / 2,

где Q_i - размер заказа номенклатуры.

Введем коэффициент Лагранжа, отвечающий следующим условиям:

λ = 0, если ∑Q_i * C_i / 2 ≠ B*;

λ ≠ 0, если ∑Q_i * C_i / 2 = B*;

т е. коэффициент Лагранжа принимает нулевое значение до тех пор, пока средняя годовая стоимость запасов отличается от заданной B*.

В этом случае стоимость обеспечения запаса J можно записать, прибавив к ней условие ограничения стоимости запасов ∑Q_i * С/2 - B*, помноженное на λ, учитывая, что это произведение всегда имеет нулевое значение:

J = ∑A_i * S_i/ Q_i + k * ∑Q_i * C_i / 2 + λ * (Q_i * C_i - B*).

Минимум J соответствует таким значениям Q_i = Q_oi*, при подстановке которых в выражения частных производных J по Q_i получается ноль:

∂J/∂Q_i = -A_i * S_i / Q_i² + k * C_i / 2 + λ * C_i / 2 = 0.

Отсюда находим:

Q_oi* = √[2 * A_i * S_i / ((k + λ) * C_i)].  (2)

Подставляя (1) в (2), получим:

B*/B = √[2 * A_i * S_i / ((k + λ) * C_i)] / √[2 * A_i* S_i / (k * C_i)].

Путем простых преобразований находим значение коэффициента Лагранжа, удовлетворяющее условию ограничения стоимости запасов величиной B*:

λ = k [(B / B*)² - 1]. (3)

Рассмотрим пример.

Фирма «Техника для Вас» реализует в течение года следующие товары.

Годовой товарооборот фирмы «Техника для Вас»

№ п/п	Наименование	Спрос	Закупочная	Стоимость заказа
(i)		(Si), шт.	стоимость (Ci), руб.	(Ai), руб.
1	Стиральная машина	1200	10 000	6000
2	Холодильник	800	14 000	8000
3	Телевизор	3600	8000	4000
4	Пылесос	2400	3200	5000
5	Магнитола	6000	2200	2000
6	Музыкальный центр	4000	6400	2000

Стоимость хранения единицы запаса в год составляет 20% от стоимости товара: k = 0,2.

1. Определим оптимальные размеры заказов Q_oi = √[2 * A_i * S_i / (k * C_i )]:

Q_oi = √[2 * 6000 * 1200 / (0,2 * 10000)] = √7200 = 85 шт.;

Q_o2 = √[2 * 8000 * 800 / (0,2 * 14000)] = √4571 = 68 шт.;

Q_o3 = √[2 * 4000 * 3600 / (0,2 * 8000)] = √18000 = 134 шт.;

Q_o4 = √[2 * 5000 * 2400 / (0,2 * 3200)] = √38710 = 194 шт.;

Q_o5 = √[2 * 2000 * 6000 / (0,2 * 2200)] = √54545 = 234 шт.;

Q_o6 = √[2 * 2000 * 4000 / (0,2 * 6400)] = √12500 = 112 шт.

На практике размеры заказов корректируют таким образом, чтобы обеспечить целочисленное количество поставок по каждому наименованию. Мы это проведем на заключительной стадии расчетов.

1.  Среднегодовая стоимость запасов

B = ∑Q_oi * С_i / 2:

В = 85 * 10000 / 2 + 68 * 14000 / 2 + 134 * 8000 / 2 + 194 * 3200 / 2 + 234 * 2200 / 2 + 112 * 6400 / 2 = 425000 + 476000 + 536000 + 310400 + 257400 + 358400 = 2363200 руб.

2. Стоимость обеспечения запасов

J = ∑A_i * S_i / Q_oi + B * k:

J = 6000 * 1200 / 85 + 8000 * 800 / 68 + 4000 * 3600 / 134 + 5000 * 2400 / 194 + 2000 * 6000 / 234 + 2000 * 4000 / 112 + 2363200 * 0,2 = 470853 + 472640 = 943493 руб.

Стоимость обеспечения запасов включает транспортно-заготовительные расходы - 470 853 руб. - и расходы на хранение запасов - 472 640 руб. Следует отметить, что в случае оптимальных размеров заказов эти суммы становятся равными. В данном примере они различаются на 1787 руб. из-за целочисленного округления размеров заказов.

4. Общие затраты на запасы B + J = 2363 200 + 943 493 = 3306 693 руб.

5. Введем ограничение средней годовой стоимости запасов, например 1500 000 руб.

6. Определим коэффициент Лагранжа λ по формуле (3) для В* = 1500 000 руб.:

λ = 0,2 [(2363200 /1500000) ² - 1] = 0,30.

7. Определим оптимальные размеры заказов в условиях ограничений Q_oi* по формуле (2), подставив значения k = 0,2 и λ = 0,3, получим Q_oi* = √(4 * A_i* S_i/ C_i):

Q_o1 * = √(4 * 6000 * 1200 / 10000) = √2880 = 54 шт.;

Q_o2 * = √(4 * 8000 * 800 / 14000) = √1829 = 43 шт.;

Q_o3 * = √(4 * 4000 * 3600 / 8000) = √7200 = 85 шт.;

Q_o4 * = √(4 * 5000 * 2400 / 3200) = √15000 = 123 шт.;

Q_o5 * = √(4 * 2000 * 6000 / 2200) = √21818 = 148 шт.;

Q_o6 * = √(4 * 2000 * 4000 / 6400) = √5000 = 71 шт.

8. Результирующая среднегодовая стоимость запасов:

В_рез* = 54 * 10000 / 2 + 43 * 14000 / 2 + 85 * 8000 / 2 + 123 * 3200 / 2 + 148 * 2200 / 2 + 71 * 6400 / 2 = 270000 + 301000 + 340000 + 196800 + 162800 + 227200 = 1497800 руб.

Полученная стоимость запасов удовлетворяет введенному ограничению ≤ 1500 000 руб., что подтверждает правильность формул (2) и (3).

9.  Определим результирующую стоимость обеспечения запасов:

J_рез* = 6000 * 1200 / 54 + 8000 * 800 / 43 + 4000 * 3600 / 85 + 5000 * 2400 / 123 + 2000 * 6000 / 148 + 2000 * 4000 / 71 + 1497800 * 0,2 = 133333 + 148837 + 169412 + 98361 + 81081 + 112676 + 299240 = 742900 + 299560 = 1042460 руб.

Видно, что транспортно-заготовительные расходы значительно возросли (с 470 853 до 742 900), что объясняется уменьшением размеров заказов. Расходы на хранение уменьшились пропорционально уменьшению стоимости запасов (с 472 640 до 299 560). При этом стоимость обеспечения запасов возросла на 1042 460 - 943 493 = 98 967 руб.

10.   Проведем окончательную коррекцию размеров заказов до целочисленного числа поставок N, каждого наименования продукции:

N₁= 1200 / 54 = 22,2 поставок. Примем N₁= 24, что соответствует Q_o1* = 50;

N₂ = 800 / 43 = 18,6 поставок. Примем N₂= 20, что соответствует Q_o2* = 40;

N₃ = 3600 / 85 = 42,4 поставок. Примем N₃= 40, что соответствует Q_o3* = 90;

N₄ = 2400 / 123 = 19,5 поставок. Примем N₄= 20, что соответствует Q_o4* = 120;

N₅ = 6000 / 148 = 40,5 поставок. Примем N₅= 40, что соответствует Q_o5* = 150;

N₆ = 4000 / 71 = 56,3 поставок. Примем N₆= 50, что соответствует Q_o6* = 80.

11. Проведем окончательный расчет стоимости запасов:

В_ок* = 50 * 10000 / 2 + 40 * 14000 / 2 + 90 * 8000 / 2 + 120 * 3200 / 2 + 150 * 2200 / 2 + 80 * 6400 / 2 = 250000 + 280000 + 360000 + 192000 + 165000 + 256000 = 1503000 руб.

Полученная стоимость на 3000 руб. превышает установленное ограничение, что не критично, поскольку отклонение составляет 0,2%, при этом обеспечивается цело-численность и кратность поставок, обеспечивающие сокращение заготовительных расходов.

12.  Определим окончательную стоимость обеспечения запасов:

J_ок* = 6000 * 24 + 8000 * 20 + 4000 * 40 + 5000 * 20 + 2000 * 40 + 2000 * 50 + 1503000 * 0,2 = 144000 + 160000 + 160000 + 100000 + 80000 + 100000 + 299240 = 744000 + 300600 = 1044600 руб.,

что незначительно отличается от суммы по п. 9.

13. Окончательные общие затраты на запасы

B_ок* + J_ок* = 1503000 + 1044600 = 2547600 руб.,

что на 3311512 - 2547600 = 763912 руб. меньше затрат по варианту с оптимальными размерами поставок.

Приведенный пример показывает методику управления заказами при ограничении оборотных средств предприятия и подтверждает правильность теоретических формул (2) и (3). При этом наглядно показана возможность уменьшения общих затрат на запасы.

б) Минимизация затрат, связанных с запасами

Общие затраты на запасы L определяются как сумма стоимости обеспечения запасов J и средней стоимости самих запасов B:

L = J + B = ∑A_i * S_i / Q_i + k ∑Q_i * C_i / 2 + ∑Q_i * C_i / 2 = (1 + k) ∑Q_i* C_i / 2 + ∑A_i * S_i / Q_i .

Условием минимизации L является равенство нулю частных производных

∂J/∂Q_i = (1 + k) * C_i / 2 - A_i * S_i / Q_i² = 0.

Отсюда размеры заказов Q_mi, определяются по формуле (4):

Q_mi = √[2 * A_i * S_i / ((1 + k) * C_i)].    (4)

Для рассмотренного примера определим размеры заказов, соответствующие минимуму затрат, связанных с запасами:

Q_m1 = √[2 * 6000 * 1200 / (1,2 * 10000)] = √1200 = 35 шт.;

Q_m2 = √[2 * 8000 * 800 / (1,2 * 14000)] = √762 = 28 шт.;

Q_m3 = √[2 * 4000 * 3600 / (1,2 * 8000)] = √3000 = 55 шт.;

Q_m4 = √[2 * 5000 * 2400 / (1,2 * 3200)] = √6250 = 79 шт.;

Q_m5 = √[2 * 2000 * 6000 / (1,2 * 2200)] = √9091 = 95 шт.;

Q_m6 = √[2 * 2000 * 4000 / (1,2 * 6400)] = √2083 = 46 шт.

Среднегодовая стоимость запасов при этом:

В_m = 35 * 10000 / 2 + 28 * 14000 / 2 + 55 * 8000 / 2 + 79 * 3200 / 2 + 95 * 2200 / 2 + 46 * 6400 / 2 = 175000 + 196000 + 220000 + 126400 + 104500 + 147200 = 969100 руб.

Определим стоимость обеспечения запасов:

J_m = 6000 * 1200 / 35 + 8000 * 800 / 28 + 4000 * 3600 / 55 + 5000 * 2400 / 79 + 2000 * 6000 / 95 + 2000 * 4000 / 46 + 969100 * 0,2 = 205714 + 228571 + 261818 + 151898 + 126316 + 173913 + 193820 = 1148230 + 193820 = 1342050 руб.

Видно, что относительно оптимального размера заказов транспортно-заготовительные расходы значительно возросли (с 470 853 до 1148 230), что объясняется уменьшением размеров заказов. Расходы на хранение уменьшились пропорционально уменьшению стоимости запасов (с 472 640 до 193 820). При этом стоимость обеспечения запасов возросла на 1342 050 - 943 493 = 398 557 руб.

Общие затраты, связанные с запасами, при этом становятся минимальными:

L_m= J_m + B_m = 1342 050 + 969 100 = 2311 150 руб.,

что на 3306 693 - 2311 150 = 995 543 руб. меньше затрат по варианту с оптимальными размерами поставок.

Следует отметить, что в точке минимума общих затрат, связанных с запасами, транспортно-заготовительные затраты (1148 230 руб.) равны сумме затрат на хранение запасов и среднегодовой стоимости запасов (193 820 + 969 100 = 1162 920 руб.).

Таким образом подтверждается возможность минимизации затрат, связанных с запасами, при использовании формулы (4) для определения размера заказа.

Приведенные выводы и расчеты справедливы не только в условиях отдельного предприятия, но и в области региональной логистики [3]. В последнем случае необходимо взаимодействие субъектов логистической деятельности [4], дающее синергетический эффект как по экономии ресурсов, так по результату. Чрезвычайно важно при этом планирование экономической деятельности основывать на концепциях оптимального управления экономическими системами [5].

Ссылки на источники

1. Носов А.Л. Логистика: учеб. пособие. - М.: Магистр, 2014.

2. Сковронек Ч., Сариус-Вольский З. Логистика на предприятии: учеб.-метод. пособие: пер. с польск. -М.: Финансы и статистика, 2004.

3. Носов А.Л. Региональная логистика. - М.: Изд-во «Альфа-Пресс», 2007.

4. Носов А.Л. Синергическое взаимодействие субъектов логистической деятельности // Логистика сегодня. - 2013. - № 1 (41). - С. 28-39.

5. Носов А.Л. Управление экономическими системами в условиях рыночного взаимодействия // РИСК: Ресурсы, информация, снабжение, конкуренция. - 2014. - № 1. - С. 272-277.